Algoritmos cuánticos. Introducción a sus fases

En un post pasado vimos lo que era un algoritmo cuántico y su diferencia con los algoritmos clásicos y probabilísticos. Ahora vamos a ver las principales fases que tiene un algoritmo cuántico, que son las siguientes:

  1. Inicialización: Se prepara el estado inicial del sistema cuántico. Esto implica configurar los qubits en un estado conocido inicial, generalmente el estado |0\rangle^{\otimes n}.
  2. Aplicación de puertas cuánticas: Se aplican una serie de puertas cuánticas para transformar el estado inicial en una superposición de estados y poder aprovechar así la superposición y marcar la solución.
  3. Interferencia cuántica: Se manipulan las amplitudes de probabilidad de los estados cuánticos mediante interferencia constructiva y destructiva. Esto se hace para aumentar la probabilidad de obtener la solución correcta al medir el sistema.
  4. Medición: Finalmente, se mide el estado de los qubits. La medición colapsa la superposición de estados a un estado específico, proporcionando la solución al problema.

Como ejemplo, vamos a ver el algoritmo de Grover, que resuelve el problema de búsqueda de datos en una secuencia no ordenada:

  • Comenzamos con un registro de n qubits en el estado |0\rangle^{\otimes n}.
  • Aplicamos la puerta de Hadamard a cada qubit para crear una superposición uniforme de todos los estados posibles:

H^{\otimes n} |0\rangle^{\otimes n} = \frac{1}{\sqrt{N}} \sum_{x=0}^{N-1} |x\rangle]

donde N = 2^n .

  • El oráculo ( O ) marca el estado objetivo |x_0\rangle invirtiendo su fase:
    O |x\rangle = \begin{cases} -|x\rangle & \text{si } x = x_0 \\ |x\rangle & \text{si } x \neq x_0 \end{cases}
  • La transformación de difusión (o inversión sobre la media) se aplica para amplificar la amplitud del estado objetivo:
    D = 2|\psi\rangle\langle\psi| - I
    donde |\psi\rangle = \frac{1}{\sqrt{N}} \sum_{x=0}^{N-1} |x\rangle .
  • Repetimos las operaciones de oráculo y difusión O(\sqrt{N}) veces. Cada iteración aumenta la probabilidad de medir el estado objetivo.
  • Finalmente, medimos el estado de los qubits. La probabilidad de obtener el estado objetivo |x_0\rangle es alta después de las iteraciones.

Por lo tanto, hemos visto las principales fases de un algoritmo cuántico y hemos analizado dichas fases para el algoritmo de Grover.

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