Operaciones cuánticas y el amortiguamiento de fase (phase damping)

Los algoritmos que hemos estado viendo en computación cuántica se describían con transformaciones con un operador unitario, basado en la ecuación de Schrodinger, que preserva la norma y evoluciona estados puros en estados puros.

Para sistemas abiertos e interacciones con el entorno, como la medida, es necesario contar con un formalismo adicional, como las operaciones y canales cuánticos, que se basan en el operador de densidad, que vimos en un post anterior, y en transformaciones generales del mismo.

Para ello, usamos transformaciones completamente positivas representadas por los operadores de Kraus.

Recordemos que para un sistema cerrado, la evolución de la matriz de densidad \rho con un operador unitario U, es \rho \rightarrow U \rho U^\dagger.

Para un sistema abierto la evolución de la matriz de densidad \rho es representada usando los operadores de Kraus con \rho \rightarrow \sum_i K_i \rho K_i^\dagger sujeto a la condición \sum_i K_i^\dagger K_i \leq I, siendo I el operador identidad.

Es necesario destacar que las matrices (operadores) de Kraus no vienen determinadas unívocamente por la transformación. Es decir, una misma transformación puede ser representada con diferentes matrices (operadores) de Kraus.

Como ejemplo de transformaciones generales, tenemos un canal de amortiguamiento de fase (phase damping). La transformación es \rho' = K_0 \rho K_0^\dagger + K_1 \rho K_1^\dagger. Esta transformación preserva los elementos diagonales pero reduce los elementos de fuera de la diagonal, modelando la pérdida de coherencia debido a la interacción con el entorno.

Las matrices K_0 y K_1 serían:

K_0 =\begin{bmatrix} 1 & 0 \\0 & \sqrt{1 - \gamma} \end{bmatrix},
K_1 =\begin{bmatrix} 0 & 0 \\0 & \sqrt{\gamma} \end{bmatrix},

siendo \gamma un valor entre 0 y 1 que parametriza la decoherencia.

Como ejemplo, vamos a hacer una transformación de amortiguamiento de fase en Qiskit con un parámetro de decoherencia \gamma=0.4.

from qiskit import QuantumCircuit, transpile
from qiskit.quantum_info import Kraus, DensityMatrix
import numpy as np

# Definir los operadores de Kraus para el amortiguamiento de fase
lambda_val = 0.4  # parámetro de amortiguamiento
K0 = np.array([[1, 0], [0, np.sqrt(1 - lambda_val)]])
K1 = np.array([[0, 0], [0, np.sqrt(lambda_val)]])
kraus_ops = [K0, K1]

# Creación un circuito cuántico con un qubit
qc = QuantumCircuit(1)
qc.h(0)  # Superposición

# Convertir a matriz de densidad
initial_state = DensityMatrix.from_instruction(qc)


print("Estado inicial:\n", initial_state)

# Aplicar el amortiguamiento de fase
phase_damping = Kraus(kraus_ops)
final_state = initial_state.evolve(phase_damping)
# Imprimir el estado final
print("Estado final después del amortiguamiento:\n", final_state)

La matriz de densidad del estado inicial y el estado final serían:

Estado inicial:
 DensityMatrix([[0.5+0.j, 0.5+0.j],
               [0.5+0.j, 0.5+0.j]],
              dims=(2,))
Estado final después del amortiguamiento:
 DensityMatrix([[0.5       +0.j, 0.38729833+0.j],
               [0.38729833+0.j, 0.5       +0.j]],
              dims=(2,))

Y con un parámetro de decoherencia \gamma=0.7 y \gamma=1 serían: 

Estado inicial:
 DensityMatrix([[0.5+0.j, 0.5+0.j],
               [0.5+0.j, 0.5+0.j]],
              dims=(2,))
Estado final después del amortiguamiento:
 DensityMatrix([[0.5       +0.j, 0.27386128+0.j],
               [0.27386128+0.j, 0.5       +0.j]],
              dims=(2,))
Estado inicial:
 DensityMatrix([[0.5+0.j, 0.5+0.j],
               [0.5+0.j, 0.5+0.j]],
              dims=(2,))
Estado final después del amortiguamiento:
 DensityMatrix([[0.5+0.j, 0. +0.j],
               [0. +0.j, 0.5+0.j]],
              dims=(2,))

Como vemos, cuando el parámetro de amortiguamiento o decoherencia tiende a 1, los elementos de fuera de la diagonal, que muestran la coherencia del estado, tienden a 0.

Hemos descrito las operaciones o canales cuánticos con el formalismo del operador de densidad y los operadores de Kraus y hemos visto como permiten describir la pérdida de coherencia (phase damping) en un canal debido a la interacción con el entorno.

 

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