Mediciones generales y proyectivas

Como ya hemos visto, uno de los aspectos más importante en computación y física cuántica es la medición. Es importante la distinción entre mediciones proyectivas, el caso más popular, y mediciones generales, el caso más realista.

Mediciones proyectivas (caso especial)

Son el tipo más simple y familiar. Se asocian a un observable hermítico \hat{A} con una descomposición espectral:

A^=∑kakPk\hat{A} = \sum_k a_k P_k

donde los P_k son proyectores ortogonales que satisfacen:

  • Idempotencia: P_k^2 = P_k.
  • Ortogonalidad: P_k P_j = 0 \quad \text{para } k \neq j.
  • Completitud: \sum_k P_k = \mathbf{I}.

Estas mediciones serían por ejemplo las mediciones comunes en las bases |0\rangle y |1\rangle.

Al medir, el estado colapsa a:

|ψpost⟩=Pm|ψ⟩⟨ψ|Pm|ψ⟩|\psi_{post}\rangle = \frac{P_m |\psi\rangle}{\sqrt{\langle\psi| P_m |\psi\rangle}}

Siempre colapsa a uno de los autovectores ortogonales con probabilidad:

p(k)=⟨ψ|Pk|ψ⟩p(k) = \langle\psi|P_k|\psi\rangle

Mediciones generales (POVM)

Una POVM (Positive Operator-Valued Measure) es una colección de operadores {M_k} que solo requieren:

  • Positividad: M_k^\dagger M_k \geq 0.
  • Completitud: \sum_k M_k^\dagger M_k = \mathbf{I}

No hay requisito de ortogonalidad ni idempotencia. La probabilidad del resultado k es:

p(k)=⟨ψ|Mk†Mk|ψ⟩p(k) = \langle\psi|M_k^\dagger M_k|\psi\rangle

Los operadores POVM propiamente dichos son E_k = M_k^\dagger M_k. El sistema colapsa a estados que no son ortogonales entre sí.

Una POVM puede tener más resultados que dimensiones del espacio de Hilbert, cosa imposible en mediciones proyectivas. Esto las hace más expresivas, especialmente para la discriminación de estados cuánticos no ortogonales.

Ejemplo: discriminación unambigua de |0\rangle vs |+\rangle

Cuando tenemos estados ortogonales como los siguientes, una medición proyectiva los distinguiría:

|+⟩=|0⟩+|1⟩2,|−⟩=|0⟩−|1⟩2|+\rangle = \frac{|0\rangle + |1\rangle}{\sqrt{2}}, \qquad |-\rangle = \frac{|0\rangle – |1\rangle}{\sqrt{2}}

Pero los siguientes estados a discriminar no son ortogonales:

⟨0|+⟩=12≠0\langle 0|+\rangle = \frac{1}{\sqrt{2}} \neq 0

En estos casos, una de las estrategias es de discriminación inequívoca. Elegir un operador ortogonal al primer estado a discriminar, un segundo operador ortogonal al segundo estado y el tercero para que la suma sea la identidad. La POVM de tres elementos en este caso sería:

E1=A|−⟩⟨−|,E2=A|1⟩⟨1|,E3=I−E1−E2E_1 = A |-\rangle\langle -|, E_2 = A |1\rangle\langle 1|, E_3 = I – E_1 – E_2

Permitiría distinguirlos con la condición clave:

\langle +|E_1|+\rangle = 0 y \langle 0|E_2|0\rangle = 0.

Esto permite distinguir entre los dos estados que no son ortogonales. Si obtienes el resultado asociado a E_3, es inconcluyente.

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